لا تقل أبدا هذا مستحيل
(*)لماذا ينبغي ألا تستغربوا عندما تقع فعلا أحداث مستبعدة
ومعجزات وأحداث أخرى خارقة - حتى ولو تكررت الأعداد
الستة نفسها الفائزة في اليانصيب خلال سحبين متعاقبين
(**).
باختصار
إن الأحداث التي نستبعد وقوعها جدا، هي في الواقع أحداث تقع فعلا من حولنا في كل الأوقات. فالقانون الرياضياتي للأعداد البالغة الكبر، شأنه شأن قانون التوافقات، يساعد على تفسير ذلك.
فإذا أخذنا ثلاثة وعشرين شخصا فقط في غرفة، فإن احتمال أن يكون لاثنين منهم تاريخ الميلاد نفسه هو 0.51، وهو عدد أكبر من خمسين في المئة.
لقد تم في يوم 6/9/2009 سحب البطاقات الفائزة في لعبة اليانصيب البلغارية بصفة عشوائية، فظهرت الأعداد 4، 15، 23، 24، 35، 42. وبعد أربعة أيام أجري سحب جديد لبطاقات اليانصيب الفائزة، فظهرت الأعداد نفسها مرة أخرى. كما ظهرت في يانصيب كارولاينا الشمالية(1) الأعداد الفائزة نفسها في سحبي 9 و 11/7/2007. أمر عجيب؟ لا، الأمر ليس كذلك في علم الاحتمالات.
|
هناك مجموعة من القوانين الرياضياتية أسميها مبدأ اللااحتمال improbability principle تفيدنا بأنه لا ينبغي أن نتفاجأ بالمصادفات، بل على العكس يجب علينا توقع حدوث مصادفات. ومن أبرز عناصر هذا المبدأ هو قانون الأعداد البالغة الكبر. وينص هذا القانون على أنه بإعطاء جملة كافية(2) من الفرص، فعلينا أن نتوقع وقوع حدث معين، بغض النظر عن قلة احتمال حدوثه في كل فرصة. وفي بعض الأحيان، ومع توفر عدد كبير من الفرص الحقيقية، إلا أنها تبدو قليلة نسبيا. وهذا التصور الخاطئ يؤدي بنا إلى الإفراط في تقليل احتمال وقوع الحدث: بمعنى أننا نعتقد أن أمرا ما يكاد يكون عديم الحدوث، في حين أن وقوعه محتمل جدا، أو ربما يكاد يكون أكيدا.
كيف يمكن أن يكون هناك عدد كبير من الفرص من دون أن يدرك الناس ذلك؟ يجيب عن هذا السؤال قانون التوافقات combinations ذو الصلة بمبدأ اللااحتمال. ويقول هذا القانون: إن عدد التوافقات المكونة من العناصر المتفاعلة يتزايد أُسّيّا مع عدد تلك العناصر. ومن الأمثلة الشهيرة في هذا الباب ما يعرف ب «مسألة يوم الميلاد»(3).
تَطرح مسألة يوم الميلاد السؤال التالي: كم عدد الأشخاص الذين يجب أن يكونوا في غرفة واحدة، بحيث يكون احتمال عدم اشتراك اثنين منهم في تاريخ الميلاد نفسه أكبر ما يمكن؟
الجواب هو بالضبط 23. أي إذا وجد ثلاثة وعشرون شخصا أو أكثر في غرفة، فالأكثر ترجيحا هو ألا يكون لاثنين منهم تاريخ الميلاد نفسه.
والآن، إذا لم تكونوا قد واجهتم من قبل مسألة يوم الميلاد، فربما يبدو لكم ذلك أمرا مدهشا. ربما يبدو لكم العدد ثلاثة وعشرون صغيرا جدا. فمن الجائز أن يكون منطقكم كالتالي: ليست هناك سوى حالة واحدة من بين 365 حالة ليكون تاريخ ميلاد شخص آخر مطابقا ليوم ميلادكم. وبالتالي، فإن هناك 364 حالة من 365 لعدم تطابق تاريخ ميلاد شخص آخر مع يوم ميلادكم (أي إن احتمال عدم التطابق هو 365/364). فإذا كان يوجد n شخصا في الغرفة، وكل من ال n - 1 شخصا الآخرين له احتمال 364/365 ليكون تاريخ ميلاده مختلفا عن يوم ميلادي، فإن احتمال أن تكون تواريخ ميلاد جميع هؤلاء الأشخاص، البالغ عددهم n - 1، مختلفة عن يوم ميلادي هو 365/364 × ...365/364 × 365/364 × 365/364 × 365/364، حيث يساوي عدد العوامل 365/364 في الجداء السابق عدد الأشخاص n - 1. وإذا كان n هو 23، فسيكون ذلك الاحتمال(4) مساويا ل 0.94.
وبما أن الاحتمال الذي حسبناه هو احتمال ألا يتشارك معي أحد في يوم ميلادي نفسه، فإن احتمال أن يكون لواحد منهم على الأقل يوم ميلادي نفسه يساوي 0.94 – 1. (هذا ناتج من كون مجموع احتمال أن يكون لشخص يوم ميلادي نفسه، واحتمال ألا يكون لأي شخص يوم ميلادي نفسه يساوي 1.) أي 0.06 = 0.94 – 1. وهو عدد صغير جدا.
إلا أن هذا الحساب الذي قمنا به خاطىء لأن الاحتمال الذي حصلنا عليه - أي احتمال أن يكون لشخص ما تاريخ ميلادك نفسه - ليس هو الإجابة عن السؤال المطروح. إذ إن السؤال يتعلق بمعرفة احتمال أن يكون لأي شخصين في الغرفة يوم الميلاد نفسه. وهذا السؤال يشمل احتمال أن يكون لأحدهم يوم ميلادك نفسه - وهو ما قمنا بحسابه أعلاه - كما يشمل أيضا احتمال أن يكون لشخصين أو أكثر من الأفراد الآخرين يوم الميلاد نفسه مع اختلاف هذا اليوم عن تاريخ ميلادكم.
هذا ما يجيب عنه موضوع التوافقات. طالما أن هناك n - 1 شخصا فقط ممن يمكنهم الاشتراك معك في يوم الميلاد، فإنه يوجد n × (n - 1)/2 زوجا من الأشخاص في الغرفة. وهذا العدد من الأزواج يتزايد بسرعة عندما يكبر n. وعند بلوغ n القيمة 23، فعدد الأزواج يصبح 253... والذي يفوق العدد 22 = n - 1 بأكثر من عشرة أضعاف. بمعنى أنه إذا كان هناك ثلاثة وعشرون شخصا في الغرفة فسنجد 253 زوجا ممكنا من الناس، ومن بين تلك الأزواج هناك فقط اثنان وعشرون زوجا تكون أنت من بينها.
دعونا ننظر الآن في احتمال ألا يشترك أي فرد مع آخر من بين الثلاثة والعشرين شخصا المتواجدين داخل الغرفة في تاريخ الميلاد. ومن أجل شخصين كيفيين، فإن احتمال ألا يكون للشخص الثاني تاريخ ميلاد الشخص الأول نفسه هو 365/364. ومن ثم، فاحتمال أن يكون هذان مختلفين في تاريخ الميلاد وألا يشترك شخص ثالث مع أي منهما بيوم الميلاد نفسه هو 365/363 × 365/364. وبالمثل، فإن احتمال ألا يكون لأي من هؤلاء الثلاثة تاريخ الميلاد نفسه مع شخص رابع هو 365/362 × 365/363 × 365/364. وبهذه الطريقة نواصل فنلاحظ أن احتمال ألا يشترك أي شخصين من ثلاثة وعشرين شخصا في يوم الميلاد نفسه هو 365/343 × ...365/361 × 365/362 × 365/363 × 365/364.
هذا العدد يساوي 0.49. وبما أن احتمال ألا يكون لأي من ثلاثة وعشرين شخصا يوم الميلاد نفسه لشخص آخر من المجموعة هو 0.49، فإن احتمال أن يكون لبعضهم يوم الميلاد نفسه هو 0.49 – 1، أي 0.51 وهو عدد أكبر من النصف.
الفوز باليانصيب(***)
لنقدم مثالا آخر يبين كيف أن حدثا يبدو في الظاهر غير ممكن بينما هو في الواقع محتمل جدا. دعونا ننظر في لعب اليانصيب. بتاريخ 6/9/2009 وفي لعبة اليانصيب البلغارية، تم عشوائيا اختيار الأعداد الفائزة 4، 15، 23، 24، 35، 42. فالملاحظ أن لا شيء يثير الدهشة حول هذه الأعداد. إلا أن الأرقام التي تشكل تلك الأعداد كلها صغيرة - وهي 1، 2، 3، 4، 5 - لكن هذا ليس أمرا غير عادي. كما نلاحظ أن هناك عددين متتاليين، هما 23 و 24، الأمر الذي يحدث عموما أكثر مما نتوقع (بمعنى أنه إذا سألتم، على سبيل المثال، أحدهم اختيار ستة أعداد من 1 إلى 49 بشكل عشوائي، فإنه سيختار أزواجا متتالية بكم أقل مما يتيحه الاختيار بمحض الصدفة.)
والمفاجأة في اليانصيب البلغارية هو ما حدث بعد أربعة أيام: ففي يوم 10/9 سحبت بصورة عشوائية بطاقات اليانصيب الفائزة, فكانت الأعداد 4، 15، 23، 24، 35، 42 - وهي بالضبط الأعداد التي وردت في الأسبوع السابق. وقد تسبب ذلك الحدث آنذاك في زوبعة إعلامية. وفي هذا السياق علقت متحدثة رسمية، حسب ما نقلته عنها مقالة رويترز Reuters الصادرة يوم 18/9، قائلة: «يحدث هذا للمرة الأولى في تاريخ اليانصيب الممتد على مدى اثنتين وخمسين سنة. نحن مستغربون جدا لمشاهدة مثل هذه الصدفة العجيبة، لكنها حدثت.» وعلى إثر ذلك أمر وزير الرياضة البلغاري <S. نيكوڤ> بإجراء تحقيق. هل كان بالإمكان أن يحدث ذلك نتيجة تزوير واسع النطاق؟ هل بالإمكان أن تكون الأعداد السابقة قد نسخت بشكل ما؟
في الواقع، وبكل بساطة، كانت هذه المصادفة المذهلة مثالا آخر على مبدأ اللااحتمال، في شكل قانون الأعداد البالغة الكبر المضخم بقانون التوافقات. أولا، هناك العديد من لعب اليانصيب التي تنظم عبر العالم. ثانيا، إنها تجرى تباعا سنة بعد سنة، وهو ما يضخم بسرعة عدد فرص تكرار أعداد اليانصيب. ثالثا، إن لقانون التوافقات دورا فعالا يؤديه هنا: ففي كل مرة يتم سحب اليانصيب يمكن أن يحتوي السحبُ الأعدادَ نفسها التي سحبت في وقت مضى. وبصفة عامة، وكما هو الشأن في حالة يوم الميلاد، فإذا سحبت بطاقات اليانصيب n مرة، فسيكون هناك n × (n – 1)/2 زوجا من بطاقات اليانصيب التي يمكن أن تخضع أعدادها لتسلسل معين.
إن حالة سحب بطاقات اليانصيب البلغارية التي تكررت فيها تلك الأعداد عام 2009 هي عمليا سحب ستة أعداد من بين تسعة وأربعين عددا. ومن ثم، فإن احتمال أن تسحب مجموعة معينة مؤلفة من ستة أعداد يعادل واحدا من 816 983 13. وهذا يعني أن احتمال تطابق أعداد سحبين هو واحد من 816 983 13. لكن، ماذا عن احتمال تطابق سحبين من بين ثلاثة؟ أو احتمال تطابق سحبين من بين خمسين سحبا؟
هناك ثلاثة أزواج ممكنة من بين ثلاثة سحبات. غير أنه يوجد 1225 زوجا من بين خمسين سحبا. هنا يتدخل قانون التوافقات. فإذا أخذنا أكثر من ذلك، فسنجد مثلا أن من بين 1000 سحب هناك 500 499 زوج ممكن. وبعبارة أخرى، إذا ضربنا عدد السحبات في 20 لجعلها تقفز من 50 إلى 1000، فوقع ذلك على تزايد الأزواج سيكون أكثر بكثير، حيث يضرب في نحو 408، قافزا من 1225 إلى 500 499. وبذلك، فإننا ندخل في عالم الأعداد البالغة الكبر.
كم سنحتاج إلى أزواج حتى يكون احتمال سحب الأعداد الستة نفسها مرتين أكبر من نصف - وهذا حتى يكون وقوع هذا الحدث هو المرجح؟ باستخدام الطريقة نفسها التي استعملناها في مسألة يوم الميلاد نستخلص الإجابة: 4404 سحبات.
إذا أجري سحبان كل أسبوع، أي 104 سحبات في السنة، فإن هذا العدد من السحبات (أي 4404) سيستغرق أقل بقليل من ثلاثة وأربعين عاما. وهذا يعني أنه بعد ثلاثة وأربعين عاما، من الأرجح ألا تتطابق اثنتان من مجموعات الأعداد الستة المسحوبة بآلة اليانصيب. وهنا نلاحظ تعقيدا آخر يضاف إلى تعقيب المتحدثة البلغارية التي رأت في الأمر صدفة مدهشة!
كل هذا يحدث في لعبة يانصيب واحدة. وعندما نأخذ بالاعتبار عدد مرات سحوب اليانصيب في جميع أنحاء المعمورة، فنحن نرى أنه من المدهش ألا تتكرر من حين إلى آخر بعض السحبات. لذلك لا تستغربوا عندما تعلمون أن في يانصيب إسرائيل ميفال هاپايس(5)، فإن الأعداد المسحوبة يوم 16/10/2010 - 13، 14، 26، 32، 33، 36 - كانت هي ذاتها المسحوبة قبل بضعة أسابيع، وبالضبط يوم 21/9. ومن ثم لا غرابة أن تتهاطل الاتصالات على منشطي برامج نقاش إذاعي في إسرائيل تدعو إلى الاحتجاج ضد تزوير اليانصيب.
اشترت <M. ويلكس> تذاكر يانصيب تحتوي على الأعداد الفائزة كلها للعبتي يانصيب ماساتشوستس(6) ويانصيب رود آيسلند(7). ومن سوء حظها كانت تذكرتها ليانصيب ماساتشوستس تحمل الأعداد الفائزة في يانصيب ولاية رود آيسلند، والعكس بالعكس. |
كانت نتيجة اليانصيب البلغارية غير عادية لتعاقب مجموعة الأعداد في سحبين متواليين. غير أن قانون الأعداد البالغة الكبر، بمراعاة وجود العديد من اليانصيب عبر العالم، ينبغي أن يقلل من استغرابنا - وهكذا لا غرابة في وقوع مثل تلك الأحداث في الماضي. وعلى سبيل المثال، نشير إلى أن يانصيب شمال كارولاينا(8) سحبت الأعداد الفائزة نفسها خلال يومي 9 و 11/7/2007.
وهناك أمر آخر يمكن أن يؤدي فيه قانون التوافقات دورا محبطا يؤدي إلى توليد تطابق أعداد اليانصيب. وما يوضح ذلك هو ما وقع لـ <M. ويلكس> عام 1980. لقد اشترت <ويلكس> تذاكر يانصيب تحتوي على جميع الأعداد الفائزة للعبتي يناصيب ماساتشوستس ويانصيب رود آيسلند. ومن سوء حظها أن تذكرتها ليانصيب ماساتشوستس كانت تحمل الأعداد الفائزة في يانصيب ولاية رود آيسلند، والعكس بالعكس. فإذا اشتريتم عشر تذاكر يانصيب، يمكن أن تضاعفوا حظوظ فوزكم عشر مرات. غير أن عشر تذاكر يعني خمسة وأربعين زوجا من التذاكر، وبالتالي فإن حظ تطابق تذكرة من بين العشر تذاكر مع إحدى تذاكر اليانصيب العشر المسحوبة يفوق، بأربع مرات، حظ فوزكم. ومن ثم، ولأسباب واضحة، فهذه الطريقة ليست الوصفة الجيدة لاكتساب ثروة كبيرة لأن تطابق تذكرة يانصيب مع أعداد مسحوبة في لعبة يانصيب أخرى لن تجنوا منها أي فائدة - باستثناء الشعور بأن العالم يستهزئ بكم.
ويطبق قانون التوافقات عندما يكون هناك الكثير من التفاعلات بين الأشخاص أو الكائنات. لنفترض، على سبيل المثال، أننا في صف يتكون من ثلاثين طالبا. فإنهم يمكن أن يتفاعلوا فيما بينهم بطرق مختلفة. باستطاعتهم العمل فرادى: فتكون هناك ثلاثون حالة، كما يمكنهم العمل مثنى مثنى، فنجد عندئذ 435 زوجا مختلفا. وبمقدورهم العمل ثلاثة ثلاثة، فنحصل حينئذ على 4060 ثلاثية مختلفة؛ وهكذا دواليك - إذ يمكنهم جميعا العمل معا، فتكون عندئذ مجموعة واحدة مكونة من ثلاثين طالبا.
وبالمجمل سيكون عدد جميع المجموعات الممكنة من الطلبة مساويا 823 741 073 1. وهذا العدد يتجاوز البليون، ونحصل على كل ذلك انطلاقا من مجموعة ثلاثين طالبا. وبصفة عامة، إذا تألفت مجموعة من n عنصرا، فإنه يمكن أن نشكل منها 2n - 1 مجموعة جزئية. وهكذا، نجد في حالة n = 100 النتيجة 1 - 2100، وهو ما يقارب 1030 الذي يمثل حقا عددا بالغ الكبر وفق المعايير كلها.
لكن، إذا كان كبر العدد 1030 لا يرضيكم، فخذوا إذن نتائج الشبكة العنكبوتية العالمية(9) التي تشمل نحو 2.5 بليون مستخدم، كل واحد منهم يستطيع التفاعل مع أيٍّ من المستخدمين الآخرين. وهذا يعطينا 1018 × 3 زوجا و 000 000 750 10 مجموعة ممكنة مؤلفة من الأعضاء المتفاعلين فيما بينهم. ونلاحظ أنه حتى الأحداث ذات الاحتمال الضعيف يمكن أن تكون شبه أكيدة الحدوث إذا ما وفرتم لها عددا كبيرا من الفرص.
وخلاصة القول إنه إذا واجهتكم في المرة القادمة صدفة غريبة في ظاهرها، ففكروا في مبدأ اللااحتمال.
المؤلف
| | David J. Hand |
| <هاند> أستاذ رياضيات فخري ومحقق رئيسي للبحوث في مؤسسة إمپريال كوليدج(10) بلندن. وقد شغل في السابق منصب رئيس الجمعية الملكية للإحصاء(11) وألف كتاب «الإحصاء: مقدمة جد قصيرة»، نشر جامعة أكسفورد(12). | |
مراجع للاستزادة
لا تقل أبدا هذا مستحيل(*)
اليوم في 5:04 pm من طرف